Combination of convex theories: Modularity, deduction completeness, and explanation

Decision procedures are key components of theorem provers and constraint satisfaction systems. Their modular combination is of prime interest for building efficient systems, but their effective use is often limited by poor interface capabilities, when such procedures only provide a simple “sat/unsat” answer. In this paper, we develop a rule-based framework to design cooperation schemas between such procedures while maintaining modularity of their interfaces. First, we use the rule-based framework to specify and prove the correctness of classic combination schemas by Nelson-Oppen and Shostak. Second, we introduce the concept of deduction complete satisfiability procedures, we show how to build them for large classes of theories, then we provide a schema to modularly combine them. Third, we consider the problem of modularly constructing explanations for combinations by re-using available proof-producing procedures for the component theories. Key-words: Decision Procedure, Satisfiability Modulo Theories, Combination, Deduction Completeness, Conflict Set Preliminary versions of the results in this paper appear in [32, 24, 25, 33]. ∗ Max-Planck-Institut für Informatik, Stuhlsatzenhausweg 85, 66123 Saarbrücken, Germany. Email: [email protected] † Email: [email protected] ‡ Email: [email protected] § Centre de Recherche INRIA Bordeaux Sud-Ouest, Bâtiment A29 351, Cours de la Libération 33405 Talence, France. Email:[email protected] Combinaison de théories convexes: modularité, complétude de déduction et explication Résumé : Les procédures sont des composants essentiels des prouveurs de théorèmes et des systèmes permettant de décider la satisfiabilité de contraintes. Leur combinaison modulaire est du plus grand intérêt pour construire des systèmes efficaces, mais leur utilisation est souvent limitée par une interface pauvre se limitant à une réponse de la forme “sat/unsat”. Dans ce papier, nous développons un cadre à base de règles pour la conception de schémas de coopération pour de telles procédures tout en maintenant la modularité de leurs interfaces. Dans un premier temps, nous utilisons ce cadre à base de règles pour spécifier et prouver la correction des schémas de combinaison classiques de Nelson-Oppen et Shostak. Ensuite, nous introduisons le concept de procédures de déduction complètes puis nous montrons comment les construire pour une large classe de théories et donnons un schéma pour les combiner de façon modulaire. Finalement, nous considérons le problème de la construction modulaire d’explications en cas d’insatisfiabilité, pour des mélanges de théories, grâce à la réutilisation de procédures engendrant des preuves pour les théories composant le mélange. Mots-clés : procédure de décision, satisfiabilité, complétude de déduction, explication de l’insatisfiabilité Combination of Convex Theories 3